PROBABILITAS

PROBABILITAS

            A.    PENGERTIAN PROBABILITAS

Probabilitas atau Peluang adalah derajat tau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil  percobaan statistik. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus memahami analisis kombinatorial, yaitu analisis bilangan factorial,permutasi dan kombinasi. Secara umum probabilitas dapat dipahami sebagai suatu nilai dari  0 s/d 1 yang mennjukkan seberapa besar  terjadinya suatu peristiwa, suatu kejadian (event), adalah sekumpulan atau lebih dari hasil-hasil yang mungkin pada suatu eksprimen. Adapun hasil (out come) adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh.  Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah merupakan suatu eksprimen, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah keseluruhan hasil (out comes) yang mungkin terjadi. Kumpulan angka genap (2, 4, 6) atau kumpulan angka ganjil (1, 3, 5) adalah kejadian (event).

 Rumus peluang:  

            B.    TUJUAN dan KEGUNAANYA
            Tujuanya :

            Dengan adanya tujuan probabilitas, mahasiswa akan dapat:

1.      Menjelaskan peranan statistic dalam mengambil keputusan.

2.      Membedakan pengertian deskriptif dengan inferensia.

3.      Dapat menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik.

4.      Memudahkan mahasiswa dalam mengolah data.

            Kegunaanya:

            Dengan adanya statistic probabilitas atau peluang kita dapat memperkirakan kejadiaan-kajadiaan yang akan muncul.Banyak kejadian dalam kehidupan sehati-hari yang slit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian dimasa yang akan datang misalnya, Apakah nanti malam akan turun hujan? Meskipun kejadiaan tersebut tidak pasti,tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Bila ada mendung dan langit semakin gelap, maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan turun

.

           C.     BAGIAN - BAGIAN PROBABILITAS

1.      BILANGAN  FAKTORIAL

Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan factorial ditulis dengan n! dan di defenisikan sebagai berikut:

Rumus: n!= n (n-1) (n-2) …… 3 x 2 x 1  O! = 1 dan 1! = 1

2.     PERMUTASI
Susunan- susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan mengambilseluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut yang ditulis dengan p

 

            D.    BEBERAPA JENIS PERMUTASI

1.      Permutasi melingkar ( keliling)

suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar.  Rumus ; banyaknya permutasi = (n-1)!

2.      Permutasi dari sebagian anggota yang sama jenisnya. Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas  n anggota, maka ada kemunhkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama

3.      Kombinasi
Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.

  

 

            E.    KONSEP DASAR PROBABILITAS

1.      Pengantar menuju pemahaman konsep probabilitas

Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui debngan pasti apalagi kejadian dimasa yang akan datang, misalnya sebagai berikut ;
        1. apakah nanti malam akan datang hujan.

        2. apakah pesawat garuda akan berangkat tepat waktu.

Begitu juga dalam percobaan statistic,kita tidak bisa mengetahui dengan pasti hasil-hasil yang akan muncul misalnya: Pada melemparan sebuah uang logam kita tidak tau dengan pasti hasilnya.apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu.

2.      Perumusan probabilitas

a.       Perumusan klasik

Bila kejadiian E terjsdi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai berikut;

b.       Rumusan dengan frekuensi relatife

                        Probabilitas empiris dari suatu kejadian dengan memekai frekuensi relative dari terjadinya      suatu kejadian dengan syarat banyakny pengamatan atau banyaknya sampel n adalah sangat  besar.

 

            F.     RUANG  SAMPEL DAN KEJADIAN

        Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi opada suatu percobaan statistic disebut ruang sample.yang dilambanmgkan dengan himpunan S,sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.

 

            G.    SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIANYA 

            Dengan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian A pada S yaitu

 

Penjelasan sifat ini, A merupakan himpunan dari S yaitu A C S, maka banyaknya anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga 0 < n (A) < 1 atau 0 < P(A) < 1…(1) sifat 2. dalam hal A =   0   , himpunan kosong artinya A tidak terjadi pada S, maka n (A) = o, sehingga:

 

sifat 3 = dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga

 

 

bila hasil (1), (2) dan (3) digabunmg maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1 dalam  hal P(A) = 0, dikatakan A  kejadian yang mustahil terjadi dan dalam hal P(A) = 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi

            H.    JENIS KEJADIAN

A.    Berdasarkan peluang terjadinya.

a.       Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh: Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus

Keadaan : Dingin vs Panas

Cuaca : Hujan vs Tidak Hujan

b.      Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh: Keadaan vs Cuaca : Dingin vs Tidak hujan

Dingin vs Hujan

Panas vsTidak hujan

Panas vs Hujan

B.     Berdasarkan pengaruh/hubungannya

a.       Kejadian Independen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

b.      Kejadian Dependen, yaitu apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian berpengaruh pada probabilitas/peluang kejadian yang lain.

 

CONTOH SOAL
1. Bilangan Faktorial hitunglah

a.                  a. 3!                   b. 5!                       c. 6!

2. Bilangan permutasi hitunglah
      a. 6P2                   b. 8P4                    c. 4P2

3. Kombinasi , hitunglah

      a. 7C4                  b. 6C4

4. Ruang sample dan kejadian
    Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap  
    pada S  maka A = { 2.4.6 } sehingga probabilitas kejadian A adalah . . . .

 

JAWAB . . .

      1.      Rumus : n! = n (n-1) (n-2)
    a. 3! = 3 (3-1) (3-2)
            = 3.2.1
            = 6
    b. 5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4)
            = 5.4.3.2.1
            = 120
     c. 6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)
             = 6.5.4.3.2.1
            = 720