Perhitungan Nilai Rata-rata

PERHITUNGAN NILAI RTA-RATA (MEAN)

     

1. Nilai Rata-rata

1. Pengertian Nilai Rata-rata

    Adalah merupakan penjelasan kelompok yang didasarkan nilairata-rata dari kelompok tersebut.  Maka individu-individu yang mewakili kelompok itu diharapkan tidak terjadi penyimpangan yang ekstrem sehingga bisa mewakili ( representatif) dari kelompok atau populasi / obyek penelitian Teknik statistik untuk menjelaskan nilai rata-rata pada kelompok ini disebut tendency central  (gejala pusat) dapat       menggunakan tekhnik yaitu modus, median, mean

2. Sifat Nilai Rata-rata

    a. Modus  : Digunakan bila peneliti ingin cepat memberikan penjelasan kepada kelompok dengan hanya 

                       mempunyai data yang populer pada kelompok saja. Teknik ini kurang teliti karena  

                       merupakan penghitungan kasar.

    b. Median : Digunakan bila ada data yang ektrem dalam  kelompok

    c. Mean    : Digunakan bila dalam kelompok itu mempunyai data yang merata.

                       namun demikian agar pembaca memberikan interpretasi sendiri  maka ketiga tekhnik  

                       tersebut digunakan semua  dan hasilnya juga disajikan semua  .

3. Menghitung Data Modus, Median, Mean
    a. Data tunggal

        Modus (data tunggal)

        Merupakan tekhnik penjelasan kelompok yang dilaksanakan atas niai yang sedang populer ( yang  

        sedang menjadi mode) atau yang sering muncul dalam kelompok tersebut.

        Contoh Data kualitatif:

        1. Kebanyakan pemuda Indonesia merokok

        2. Kebanyakan tentara berambut pendek 

        Contoh Data Kuantitatif

        Hasil pencatatan umur pegawai di kanor X adalah sbb ( dalam tahun).

        20, 45, 60, 56, 45, 45, 20, 19, 57, 45, 45, 51, 35.

        Rumus

        MO = b+p  (   bi      )

                            bi  + b2

        Keterangan :

        MO   = Modus

        b       = batas bawah  klas interval dengan frekuensi terbanyak

        p       = panjang klas interval

        b1     = frekuensi pada klas modus (frekuensi pada klas interval   

                    terbanyak) dikurangi frekuensi klas interval terdekat

                    sebelumnya                                                                                           

        b2     = frekuensi klas modus dikurangi frekuensi klas interval

                    berikutnya .                                         

    

       Median

       Merupakan salah satu tekhnik pejelasan kelompok yang  didasarkan atas nilai tengah  dari kelmpok    

       data yang telah disusun urutannya dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Mis kelompok umur  

       sbb;

       19, 20, 20, 35, 45, 45, 45, 45, 45, 51, 56, 57,60.  n ganjil

       180, 171, 170, 167, 166, 165, 164, 160, 147, 145, cm (TB )

       Bila  n  genap maka nilai dibagi dua  sehingga    166 +165  = 165,5 artinya tinggi badan rata-rata       

       kelompok 2  itu = 165,5 

       Mean
       merupakan pejelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut . Rata-rata 

       ( mean ) dapat dihitung dengan menjumlah data seluruh individu dalam kelompok itu  kemudian dibagi

       n   sehingga rumus sbb.                         

       Mε =   Σ X i

                      n

Ket  :  Mε  =  Mean ( rata-rata )

              Σ   =  Epselon ( jumlah )

             Xi  =  Nilai x ke 1 sampai ke  n

            n    = jumlah individu / sampel/ responden 

           Contoh : tinggi badan ( cm ) (90 +120+160+60+180+190+90+180+70+160) : 10

              

           Mε = 1300 : 10  = 130.   Mε  harus mewakili individu  artinya data  jangan terjadi penyimpangan   
          yang ektrem .

b.Range(rentang)

 Rentang merupakan ukuran despersi ( penyimpangan )

yang paling sederhana karena hanya melibatkan  2 nilai

dalam distribusi . Yaitu nilai terbesar dan terkecil. Range

merupakan gambaran kasar tentang besarnya variasi

sehingga dengan range  saja belum bisa mengetahui variasi

yang sebenarnya

Contoh :

1. Distribusi berat badan dengan range yang sama tetapi mean berbeda
2. Range berbeda tapi mean sama

                                         

 B. Rataan hitung

Rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang .

1.      Rataan data tunggal
Rataan dari sekumpulan data yang banyaknya n adalah jumlah data dibagi dengan banyaknya data.Rataan =  atau Keterangan:
 = jumlah data
n = jumlah data
 = data ke-iUntuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini

Contoh soal
Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6. Tentukan rataan dari data tersebut.

Penyelesaian:

     2.      Rataan dari data distribusi frekuensi
     Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka rataan dirumuskan sebagai berikut. atau Keterangan:
 = frekuensi untuk nilai 
 = data ke-i

     3.      Mean data bergolong
     Rata-rata untuk data bergolong pada hakikatnya sama dengan menghitung rata-rata data pada 
           distribusi frekuensi tunggal dengan mengambil titik tengah kelas sebagai .

Contoh soal
Tentukan rataan dari data berikut ini.

Berat badan (kg)	frekuensi
40 – 44	1
45 – 49	6
50 – 54	10
55 – 59	2
60    – 64	1

Penyelesaian:

Berat badan (kg)	titik tengah (xi)	fi	fixi
40 – 44	42	1	42
45 – 49	47	6	282
50 – 54	52	10	520
55 – 59	57	2	114
60 – 64	62	1	64

·         rataan = 

·         Jadi, rataannya adalah 51.
Selain dengan cara di atas, ada cara lain untuk menghitung rataan yaitu dengan
menentukan rataan sementara terlebih dulu sebagai berikut.
a. Menentukan rataan sementaranya.
b. Menentukan simpangan (d) dari rataan sementara.
c. Menghitung simpangan rataan baru dengan rumus berikut ini.
d. Menghitung rataan sesungguhnya.

     C.      PENGOLAHAN DATA

Dalam kegiatan pengolahan data hasil pengukuran konsentrasi terletak padaperhitungang alat ukur s  
yang harus menyertai hasil ukur  x. galat ukur ternyata tidakhanya ditimbulkan oleh perangkat
pengukuran sebagai galat sistematis,tetapi juga olehdinamika besaran maupun proses pengukurannya.
Ada dua hal penyebab dinamika besaran yang diukur :

1.  Fluktuasi nilai besaran terhadap waktu 
      Terdapat banyak sekali besaran yang berubah-ubah terhadap waktu, sehinggapengukurannya tidak
      mungkin menghasilkan nilai tunggal. Contoh : tekanan dan suhu
      udara yang selalu berubah besarnya setiap saat. Bila tekanan udara merupakan salah satubesaran yang  
      menentukan dalam eksperimen, pengukurannya harus dilakukan berulangulang, dari awal sampai akhir  
      percobaan. Contoh lain adalah pengukuran tegngan listrik dari PLN, setiap saat besarnya berfluktuasi.

 2. Formula ideal dalam perhitungan 
     Ada besaran misalnya luasan penampang suatu benda, tidak memiliki cara pengukuran secara langsung 
     maupun tak langsung. Luasan harus diukur melalui suatuperhitungan. Katakanlah penampang yang akan 
     diukur adalah penampang seutas kawat yang berbentuk lingkaran, luasnya (L) dapat dihitung dengan 
     mengukur diameter (D) kawat kemudian memasukkannya ke dalam formula : L = ¼ p D2.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kelompok III : - AGUS MERIANTI
                        - AHMAD HANIFA
                        - AHMADI
                        - BUDI KURNIADI
                        - FADIAH 
                        - MUHAMMAD RIDHWAN
                       

Frekuensi

FREKUENSI

Frekuensi adalah susunan data angka menurut besarnya (kuantitas) atau menurut kategorinya (kualitas). Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti: “kekerapan”, “keseimbangan”, “keseringan”, atau “jarang-kerap”. Dalam statistik, “frekuensi” mengandung pengertian : Angka (bilangan) yang menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut; atau berapa kalikah suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka itu) muncul dalam deretan angka tersebut.

Bisa juga di sebut sebagai ukuran jumlah putaran ulang per peristiwa dalam selang waktu yang diberikan. Untuk memperhitungkan frekuensi, seseorang menetapkan jarak waktu, menghitung jumlah kejadian peristiwa, dan membagi hitungan ini dengan panjang jarak waktu. Hasil perhitungan ini dinyatakan dalam satuan hertz (Hz) yaitu nama pakar fisika Jerman Heinrich Rudolf Hertz yang menemukan fenomena ini pertama kali. Frekuensi sebesar 1 Hz menyatakan peristiwa yang terjadi satu kali per detik.

Range adalah selisih antara nilai tertinggi dan terendah. Batas kelas adalah nilai yang digunakan untuk memisahkan antar kelas tapi tanpa adanya jarak antara batas atas kelas dengan batas bawah berikutnya.  

   A.    Frekwensi kumulatif

Distribusi frekwensi yang setiap kelompoknya dinyatakan dengan nilai kumulatif .

Frekwensi kumulatif dapat dinyatakan dalam 4 model .

-            Kurang dari batas bawah kelompok  (‹)

-            Sama atau lebih besar dari batas atas kelompok ( ≥)

-            Kurang atau sama dengan batas atas kelompok  (≤)

-            Lebih besar dari batas atas kelompok  (>)

   B.     Distribusi Frekuensi

Hasil pengukuran yang kita peroleh disebut dengan data mentah. Besarnya hasil pengukuran yang kita peroleh biasanya bervariasi. Apabila kita perhatikan data mentah tersebut, sangatlah sulit bagi kita untuk menarik kesimpulan yang berarti. Untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai data tersebut, data mentah tersebut perlu di olah terlebih dahulu.

Pada saat kita dihadapkan pada sekumpulan data yang banyak, seringkali membantu untuk mengatur dan merangkum data tersebut dengan membuat tabel yang berisi daftar nilai data yang mungkin berbeda (baik secara individu atau berdasarkan pengelompokkan) bersama dengan frekuensi yang sesuai, yang mewakili berapa kali nilai-nilai tersebut terjadi. Daftar sebaran nilai data tersebut dinamakan dengan Daftar Frekuensi atau Sebaran Frekuensi (Distribusi Frekuensi).

Dengan demikian, distribusi frekuensi adalah daftar nilai data (bisa nilai individual atau nilai data yang sudah dikelompokkan ke dalam selang interval tertentu) yang disertai dengan nilai frekuensi yang sesuai. Pengelompokkan data ke dalam beberapa kelas dimaksudkan agar ciri-ciri penting data tersebut dapat segera terlihat. Daftar frekuensi ini akan memberikan gambaran yang khas tentang bagaimana keragaman data. Sifat keragaman data sangat penting untuk diketahui, karena dalam pengujian-pengujian statistik selanjutnya kita harus selalu memperhatikan sifat dari keragaman data. Tanpa memperhatikan sifat keragaman data, penarikan suatu kesimpulan pada umumnya tidaklah sah.

Sebagai contoh, perhatikan contoh data pada Tabel 1. Tabel tersebut adalah daftar nilai ujian Matakuliah Statistik dari 80 Mahasiswa (Sudjana, 19xx).

Tabel 1. Daftar Nilai Ujian Mata kuliah Statistik

79	49	48	74	81	98	87	80
80	84	90	70	91	93	82	78
70	71	92	38	56	81	74	73
68	72	85	51	65	93	83	86
90	35	83	73	74	43	86	88
92	93	76	71	90	72	67	75
80	91	61	72	97	91	88	81
70	74	99	95	80	59	71	77
63	60	83	82	60	67	89	63
76	63	88	70	66	88	79	75

Sangatlah sulit untuk menarik suatu kesimpulan dari daftar data tersebut. Secara sepintas, kita belum bisa menentukan berapa nilai ujian terkecil atau terbesar. Demikian pula, kita belum bisa mengetahui dengan tepat, berapa nilai ujian yang paling banyak atau berapa banyak mahasiswa yang mendapatkan nilai tertentu. Dengan demikian, kita harus mengolah data tersebut terlebih dulu agar dapat memberikan gambaran atau keterangan yang lebih baik.

Bandingkan dengan tabel yang sudah disusun dalam bentuk daftar frekuensi (Tabel 2a dan Tabel 2b). Tabel 2amerupakan daftar frekuensi dari data tunggal dan Tabel 2b merupakan daftar frekuensi yang disusun dari data yang sudah di kelompokkan pada kelas yang sesuai dengan selangnya. Kita bisa memperoleh beberapa informasi atau karakteristik dari data nilai ujian mahasiswa.

Tabel 2a.

No	Nilai Ujian	Frekuensi
	xi	fi
1	35	1
2	36	0
3	37	0
4	38	1
:	:	:
16	70	4
17	71	3
:	:	1
42	98	1
43	99	1
	Total	8

Pada Tabel 2a, kita bisa mengetahui bahwa ada 80 mahasiswa yang mengikuti ujian, nilai ujian terkecil adalah 35 dan tertinggi adalah 99. Nilai 70 merupakan nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa, yaitu ada 4 orang, atau kita juga bisa mengatakan ada 4 mahasiswa yang memperoleh nilai 70, tidak ada satu pun mahasiswa yang mendapatkan nilai 36, atau hanya satu orang mahasiswa yang mendapatkan nilai 35.

Tabel 2b.

Kelas ke-	Nilai Ujian	Frekuensi fi
1	31 – 40	2
2	41 – 50	3
3	51 – 60	5
4	61 – 70	13
5	71 – 80	24
6	81 – 90	21
7	91 – 100	12
	Jumlah	80

Tabel 2b merupakan daftar frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan. Daftar ini merupakan daftar frekuensi yang sering digunakan. Kita sering kali mengelompokkan data contoh ke dalam selang-selang tertentu agar memperoleh gambaran yang lebih baik mengenai karakteristik dari data. Dari daftar tersebut, kita bisa mengetahui bahwa mahasiswa yang mengikuti ujian ada 80, selang kelas nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa adalah sekitar 71 sampai 80, yaitu ada 24 orang, dan seterusnya. Hanya saja perlu diingat bahwa dengan cara ini kita bisa kehilangan identitas dari data aslinya. Sebagai contoh, kita bisa mengetahui bahwa ada 2 orang yang mendapatkan nilai antara 31 sampai 40. Meskipun demikian, kita tidak akan tahu dengan persis, berapa nilai sebenarnya dari 2 orang mahasiswa tersebut, apakah 31 apakah 32 atau 36 dst.

Ada beberapa istilah yang harus dipahami terlebih dahulu dalam menyusun daftar frekuensi.

Tabel 3.

Kelas ke-	Selang Nilai Ujian	Batas Kelas	Nilai Kelas (xi)	Frekuensi (fi)
1	31 – 40	30.5 – 40.5	35.5	2
2	41 – 50	40.5 – 50.5	45.5	3
3	51 – 60	50.5 – 60.5	55.5	5
4	61 – 70	60.5 – 70.5	65.5	13
5	71 – 80	70.5 – 80.5	75.5	24
6	81 – 90	80.5 – 90.5	85.5	21
7	91 – 100	90.5 – 100.5	95.5	12
	Jumlah			80

Range : Selisih antara nilai tertinggi dan terendah. Pada contoh ujian di atas, Range = 99 – 35 = 64

Batas bawah kelas: Nilai terkecil yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah kelasnya adalah 31, 41, 51, 61, …, 91)

Batas atas kelas: Nilai terbesar yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah kelasnya adalah 40, 50, 60, …, 100)

Batas kelas (Class boundary): Nilai yang digunakan untuk memisahkan antar kelas, tapi tanpa adanya jarak antara batas atas kelas dengan batas bawah kelas berikutnya. Contoh: Pada kelas ke-1, batas kelas terkecilnya yaitu 30.5 dan terbesar 40.5. Pada kelas ke-2, batas kelasnya yaitu 40.5 dan 50.5. Nilai pada batas atas kelas ke-1 (40.5) sama dengan dan merupakan nilai batas bawah bagi kelas ke-2 (40.5). Batas kelas selalu dinyatakan dengan jumlah digit satu desimal lebih banyak daripada data pengamatan asalnya. Hal ini dilakukan untuk menjamin tidak ada nilai pengamatan yang jatuh tepat pada batas kelasnya, sehingga menghindarkan keraguan pada kelas mana data tersebut harus ditempatkan. Contoh: bila batas kelas di buat seperti ini:

Kelas ke-1 : 30 – 40

Kelas ke-2 : 40 – 50

Apabila ada nilai ujian dengan angka 40, apakah harus ditempatkan pada kelas-1 ataukah kelas ke-2?

Panjang/lebar kelas (selang kelas): Selisih antara dua nilai batas bawah kelas yang berurutan atau selisih antara dua nilai batas atas kelas yang berurutan atau selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas bagi kelas yang bersangkutan. Biasanya lebar kelas tersebut memiliki lebar yang sama.

Contoh:

lebar kelas = 41 – 31 = 10 (selisih antara 2 batas bawah kelas yang berurutan) atau

lebar kelas = 50 – 40 = 10 (selisih antara 2 batas atas kelas yang berurutan) atau

lebar kelas = 40.5 – 30.5 = 10. (selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas pada kelas ke-1)

Nilai tengah kelas: Nilai kelas merupakan nilai tengah dari kelas yang bersangkutan yang diperoleh dengan formula berikut: ½ (batas atas kelas+batas bawah kelas). Nilai ini yang dijadikan pewakil dari selang kelas tertentu untuk perhitungan analisis statistik selanjutnya. Contoh: Nilai kelas ke-1 adalah ½(31+40) = 35.5

Banyak kelas: Pada tabel ada 7 kelas.

Frekuensi kelas: Banyaknya kejadian (nilai) yang muncul pada selang kelas tertentu. Contoh, pada kelas ke-1, frekuensinya = 2. Nilai frekuensi = 2 karena pada selang antara 30.5 – 40.5, hanya ada 2 angka yang muncul, yaitu nilai ujian 31 dan 38.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kelompok III : - ADITYA KUSUMA HARDIANTO
                        - INDAH CAHYANI PUTRI
                        - KAMAYULISA
                        - NURUL FADLA
                        - TRI SUHARTI
                        - YUNI LESTARI